高考文科数学二轮复习《专题1集合与常用逻辑用语、函数、不等式》PPT版

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第1讲　集合与常用逻辑用语第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ第3讲　函数与方程﹑函数模型及其应用第4讲　不等式与线性规划专题一　集合与常用逻辑用语、函专题一　集合与常用逻辑用语、函数、不等式数、不等式第第11讲　集合与常用逻辑用语讲　集合与常用逻辑用语返回目录考点考向探究核心知识聚焦第1讲　集合与常用逻辑用语体验高考体验高考返回目录1．[2013·江西卷改编]若集合A＝x∈R|ax2＋ax＋1＝0中只有一个元素①，则a＝________．[答案]4[解析]当a＝0时，A＝∅；当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，则a＝4，此时方程有一解，集合有一个元素．⇒集合关键词：元素的互异性、属于，如①.主干知识主干知识核心知识聚焦第1讲　集合与常用逻辑用语体验高考体验高考　　返回目录2．[2013·福建卷改编]若集合A＝{1，2，3}，B＝{1，3，4}，则A∩B的子集②的个数为________．[答案]4⇒集合间的基本关系关键词：子集、相等、空集．如②.主干知识主干知识[解析]A∩B＝{1，3}，其子集共有22＝4(个)．核心知识聚焦第1讲　集合与常用逻辑用语体验高考体验高考　　返回目录3．[2014·新课标全国卷Ⅱ改编]已知集合A＝－2，0，2，B＝x|x2－x－2＝0，则A∩B③＝________[答案]{2}[解析]B＝－1，2，A＝－2，0，2，所以A∩B＝2.⇒集合的运算关键词：交集如③、并集、补集如④.主干知识主干知识　　核心知识聚焦第1讲　集合与常用逻辑用语体验高考体验高考　　返回目录4．[2013·湖南卷]已知集合U＝{2，3，6，8}，A＝{2，3}，B＝{2，6，8}，则（∁UA）∩B④＝________.[答案]{6，8}[解析]由已知得∁UA＝{6，8}，又B＝{2，6，8}，所以(∁UA)∩B＝{6，8}．核心知识聚焦第1讲　集合与常用逻辑用语体验高考体验高考　　返回目录5．[2014·浙江卷改编]设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”⑤的________条件．[答案]充分不必要[解析]若四边形ABCD为菱形，则AC⊥BD；反之，若AC⊥BD，则四边形ABCD不一定为平行四边形．故“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．⇒充要条件关键词：p⇒q，q⇒p，如⑤.主干知识主干知识核心知识聚焦第1讲　集合与常用逻辑用语体验高考体验高考返回目录6．[2014·陕西卷改编]原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题⑥真假性的判断依次为________．[答案]假，假，真.⇒命题与逻辑联结词关键词：逆命题、否命题、逆否命题如⑥，命题真假如⑦，∨，∧，綈．主干知识　主干知识　　[解析]设z1＝a＋bi，z2＝a－bi，且a，b∈R，则|z1|＝|z2|＝a2＋b2，故原命题为真，所以其逆否命题为真，当z1＝2＋i，z2＝－2＋i时，满足|z1|＝|z2|，此时z1，z2不是共轭复数，故原命题的逆命题为假，故其否命题也为假．核心知识聚焦第1讲　集合与常用逻辑用语体验高考体验高考返回目录7．[2014·湖南卷改编]已知命题⑥p：若x＞y，则－x＜－y，命题q：若x＞y，则x2＞y2.在命题①p∧q，②p∨q，③p∧￢q，④￢p∨q中，真命题⑦是________．[答案]②③[解析]依题意可知，命题p为真命题，命题q为假命题．由真值表可知p∧q为假，p∨q为真，p∧￢q为真，￢p∨q为假．核心知识聚焦返回目录————教师教师知识必备知识必备————　　概念一组对象的全体，x∈A，x∉A元素特点：互异性、无序性、确定性子集x∈A⇒x∈B，即A⊆B真子集x∈A⇒x∈B，∃x0∈B，x0∉A⇔AB关系相等A⊆B，B⊆A⇔A＝B⊆A；A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；含n个元素的集合的子集数为2n交集A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}并集A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}集合与常用逻辑用语集合运算补集∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(∁UA)＝A知识必备集合与常用逻辑用语第1讲　集合与常用逻辑用语返回目录概念能够判断真假的语句原命题：若p，则q逆命题：若q，则p否命题：若￢p，则￢q命题四种命题逆否命题：若￢q，则￢p原命题与逆命题、否命题与逆否命题互逆；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互否；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为逆否．互为逆否的命题具有相同的真假性．充分条件p⇒q，p是q的充分条件必要条件p⇒q，q是p的必要条件集合与常用逻辑用语常用逻辑用语充要条件充要条件p⇔q，p与q互为充要条件若命题p对应集合A，命题q对应集合B，则p⇒q等价于A⊆B，p⇔q等价于A＝B第1讲　集合与常用逻辑用语————教师教师知识必备知识必备————　　返回目录或p∨q，p，q有一为真即为真，p，q均为假时才为假类比集合的并且p∧q，p，q均为真时才为真，p，q有一为假即为假类比集合的交集合与常用逻辑用语常用逻辑用语逻辑联结词非￢p和p为一真一假两个互为对立的命题类比集合的补第1讲　集合与常用逻辑用语————教师教师知识必备知识必备————　　返回目录第1讲　集合与常用逻辑用语►考点一集合及其运算集合概念————1.集合的表示；2.元素的互异性；3.含参问题，分类讨论集合关系————1.求子集的个数；2.由集合关系求参；3.包含与相等关系集合运算————1.交集；2.交并补混合运算题型：选择，填空分值：5分难度：基础热点：集合关系与运算的综合考点考向探究返回目录第1讲　集合与常用逻辑用语例1(1)[2014·辽宁卷]已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0}B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0＜x＜1}(2)已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M，a≠b}，则集合M与集合N的关系是()A．M＝NB．M⊆NC．M⊇ND．M∩N＝∅考点考向探究返回目录第1讲　集合与常用逻辑用语[解析](1)由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|00且a≠1)在R上是增函数，命题q：loga2＋log2a≥2(a>0且a≠1)，则下列命题中为真命题的是()A．p∨qB.p∧qC．￢p∧qD．p∨￢q考点考向探究　返回目录第1讲　集合与常用逻辑用语[解析](1)易知p1为真，p2为假，则q1为真，q2为假，q3为假，q4为真．故选C.(2)函数y＝axa>0且a≠1在R上是增函数需满足a>1，所以命题p是假命题．loga2＋log2a≥2需满足a>1，所以命题q是假命题，所以命题p∨￢q是真命题．[答案](1)C(2)D考点考向探究返回目录例1[配合例1使用]已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且①a≠2，②b＝2，③c≠0中有且只有一个正确，则100a＋10b＋c________．————教师备用例题教师备用例题————　　[答案]201[备选理由]例1是一个集合分类讨论与推理结合的问题，考查综合分析问题的能力；例2为新概念下的集合运算问题，有利于加强对集合的理解；例3依据命题间的推出关系确定参量的取值范围．第1讲　集合与常用逻辑用语返回目录[解析](1)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c＝0，由①正确得a＝1，所以b＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．(2)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a＝2，与②正确矛盾，故②不正确．(3)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a＝2，由②不正确及③正确得b＝0，c＝1，故③正确．100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.第1讲　集合与常用逻辑用语返回目录例2[配合例1使用]定义A×B＝{z|z＝xy，x∈A且y∈B}，若A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{－1，2}，则A×B＝()A．{x|－1＜x＜2}B．{－1，2}C．{x|－2＜x＜2}D．{x|－2＜x＜4}[解析]x∈x|－10，所以00，得x>2，故定义域为(2，＋∞)．⇒函数的概念与表示关键词：定义域如①②、值域如③、解析式．主干知识主干知识核心知识聚焦第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ体验高考体验高考　　返回目录2．[2014·浙江卷改编]设函数f(x)＝x2＋2x＋2，x≤0，－x2，x＞0.若f(f(a))＝2，则a②＝________.[答案]2[解析]令t＝f(a)，若f(t)＝2，则t2＋2t＋2＝2满足条件，此时t＝0或t＝－2，所以f(a)＝0或f(a)＝－2，只有－a2＝－2满足条件，故a＝2.核心知识聚焦体验高考体验高考　　返回目录3．[2013·北京卷]函数f(x)＝log12x，x≥1，2x，x<1的值域③为________．[答案](－∞，2)[解析]函数y＝log12x在区间(0，＋∞)上为减函数，当x≥1时，函数y＝log12x的值域为(－∞，0]；函数y＝2x在R上是增函数，当x<1时，函数y＝2x的值域为(0，2)．所以原函数的值域为(－∞，2)．第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ核心知识聚焦第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ体验高考体验高考　　返回目录4．[2014·天津卷改编]函数f(x)＝lgx3的单调递增区间④是________．[答案](0，＋∞)⇒函数的性质关键词：单调性如④、奇偶性如⑤、周期性、对称性．主干知识主干知识[解析]函数f(x)＝lgx3＝3lgx，其单调递增区间为(0，＋∞)．核心知识聚焦体验高考体验高考　　返回目录5．[2014·广东卷改编]函数f(x)＝2x－12x为函数⑤.(填“奇”或“偶”)[答案]奇[解析]因为x∈R，f(－x)＝2－x－12－x＝－2x－12x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ核心知识聚焦第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ体验高考体验高考　　返回目录6．[2014·山东卷改编]函数f(x)＝loga(x＋2)(a>0，a≠1)恒过点⑥________．[答案](－1，0)⇒函数的图像关键词：分布、经过的特殊点如⑥.主干知识主干知识[解析]因为函数y＝logax恒过点(1，0)，所以函数y＝loga(x＋2)恒过点(－1，0)．核心知识聚焦第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ体验高考体验高考　　返回目录7．[2014·安徽卷]1681－34＋log354＋log345＝⑦________．[答案]278⇒基本初等函数Ⅰ关键词：指数函数、对数函数如⑦、幂函数.主干知识主干知识[解析]原式＝234－34＋log354×45＝23－3＝278.核心知识聚焦返回目录————教师教师知识必备知识必备————　　知识必备函数与基本初等函数Ⅰ概念定义域内任何一个自变量都有唯一对应的函数值．两函数相等只要定义域和对应法则相同即可表示方法解析法、表格法、图像法．分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集单调性对于定义域内某个区间I，x1，x2∈I，x1＜x2，f(x)是增函数⇔f(x1)＜f(x2)，f(x)是减函数⇔f(x1)＞f(x2)奇偶数对于定义域内任意x，f(x)是偶函数⇔f(x)＝f(－x)，f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于坐标原点对称偶函数在定义域内关于坐标原点对称的区间上具有相反的单调性，奇函数在定义域内关于坐标原点对称的区间上具有相同的单调性函数概念及其表示性质周期性对定义域内任意x，存在非零常数T，使得f(x＋T)＝f(x)第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ返回目录————教师教师知识必备知识必备————　　0＜a＜1在区间(－∞，＋∞)上单调递减，x＜0时y>1，x＞0时0＜y＜1指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)a＞1在区间(－∞，＋∞)上单调递增，x＜0时0＜y＜1，x＞0时y＞1函数图像过定点(0，1)0＜a＜1在区间(0，＋∞)上单调递减，0＜x＜1时y＞0，x＞1时y＜0对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)a＞1在区间(0，＋∞)上单调递增，0＜x＜1时y＜0，x＞1时y＞0函数图像过定点(1，0)α＞0在区间(0，＋∞)上单调递增，图像过坐标原点基本初等函数Ⅰ幂函数y＝xαα＜0在区间(0，＋∞)上单调递减函数图像过定点(1，1)第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ返回目录►考点一函数的概念与表示函数概念——1.概念的理解；2.概念的应用；3.分段函数定义域——1.求定义域；2.据定义域求参值域——1.求值域；2.求函数值题型：选择，填空分值：5分难度：基础热点：分段函数与定义域第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ考点考向探究返回目录例1(1)函数f(x)＝lg(x－1)＋3－x的定义域是()A．(1，3)B.[1，3]C．(1，3]D.[1，3)(2)设函数f(x)＝12x－1（x≥0），1x（x<0），若f[f(a)]＝－12，则实数a＝()A．4B．－2C．4或－12D．4或－2第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ考点考向探究返回目录第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ[解析](1)据题意有x－1>0，3－x≥0，解得11），4－a2x＋2（x≤1）是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为()A．(1，＋∞)B.4，8C．(4，8)D．(1，8)第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ考点考向探究　返回目录[解析](1)因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，于是f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，即f(x)g(x)为奇函数，A错；|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)，即|f(x)|g(x)为偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，即f(x)|g(x)|为奇函数，C正确；|f(－x)·g(－x)|＝|f(x)g(x)|，即|f(x)g(x)|为偶函数，所以D也错．(2)函数f(x)在R上为增函数，则y＝ax在区间(1，＋∞)上为增函数，y＝4－a2x＋2在区间(－∞，1]上为增函数，且要满足a≥4－a2＋2，因此a>1，4－a2>0，a≥4－a2＋2，解得4≤a<8.第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ[答案](1)C(2)B考点考向探究　返回目录[小结]第(2)小题为分段函数的单调性问题，除了保证x>1，x≤1时分别单调递增外，还要保证整个定义域内连续递增，所以不能忽略a≥4－a2＋2这一限制．第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ考点考向探究　返回目录变式题(1)若f(x)是R上的减函数，且f(x)的图像过点(0，3)和(3，－1)，则不等式f（x＋1）－1<2的解集是()A．(－∞，2)B．(－1，2)C．(0，3)D．(1，4)(2)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x＋4)－f(x)＝2f(2)．若y＝f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，且f(1)＝2，f(2)＝0，则f(2014)＝()A．2B．3C．4D．0第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ考点考向探究　返回目录[解析](1)函数过点(0，3)和(3，－1)，即有f(0)＝3，f(3)＝－1，而不等式f（x＋1）－1<2即为－2f(x2)B．f(x1)0.又x10，即f(x1)>f(x2)．考点考向探究返回目录►考向二其他基本初等函数例5(1)[2014·浙江卷]在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图像可能是()图22第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ考点考向探究返回目录(2)已知函数f(x)＝3－x－1（x≤0），x12（x＞0）在区间[－1，m]上的最大值是2，则m的取值范围是________．第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ[答案](1)D(2)(－1，4][解析]（1）只有选项D符合，此时00时，函数f(x)＝单调递增．由函数在区间[－1，m]上的最大值是2，得≤2，所以x≤4，所以m的取值范围是(－1，4]．考点考向探究　返回目录第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ[小结]解涉及含指数式、对数式、幂式的不等式时，一定要将不等式转化为同底或同指数的结构，再结合这些基本初等函数的单调性进行求解．考点考向探究　返回目录变式题函数f(x)＝lnx2()A．是偶函数且在区间(－∞，0)上单调递增B．是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递增C．是奇函数且在区间(0，＋∞)上单调递减D．是奇函数且在区间(－∞，0)上单调递减第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ[答案]B[解析]函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，当x>0时，f(x)＝lnx2＝2lnx，所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．又f(－x)＝ln(－x)2＝lnx2＝f(x)，所以f(x)为偶函数．考点考向探究返回目录例1[配合例1使用]定义：〈m〉表示大于或等于m的最小整数(m是实数)．若函数f(x)＝2x2x＋1，则函数g(x)＝〈f(x)－12〉＋〈f(－x)－12〉的值域为________．————教师备用例题教师备用例题————　　第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ[答案]{0，1}[备选理由]例1考查特殊定义下求函数值域，考查分析问题的能力；例2综合考查函数的奇偶性与单调性；例3考查对函数新定义的理解及函数图像的判断；例4考查基本初等函数的性质．返回目录[解析]因为f(x)＝2x2x＋1＞0，所以f(x)＋f(－x)＝2x2x＋1＋12x＋1＝1.而f(x)－12≤〈f(x)－12〉＜f(x)＋12，f(－x)－12≤〈f(－x)－12〉＜f(－x)＋12，所以f(x)＋f(－x)－1≤g(x)＜f(x)＋f(－x)＋1⇒0≤g(x)＜2，故g(x)的值域为{0，1}．第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ返回目录例2[配合例2使用]定义在R上的函数f(x)＝ex＋e－x＋|x|，则满足f(2x－1)＜f(3)的x的取值范围是()A．(－2，2)B．(－∞，2)C．(2，＋∞)D．(－1，2)第2讲　函数与基本初等函数Ⅰ[解析]函数f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)＝ex＋e－x＋x，则f′(x)＝ex－e－x＋1＝e2x－1ex＋1>0，即函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增．故当2x－1≥0时，2x－1<3，解得12≤x<2；当2x－1<0时，1－2x>0，不等式f(2x－1)＜f(3)即为f(1－2x)0.8>0，所以21.1>20.8>20＝1，即b>c>1.因此a0的零点个数③是________．[答案]2[解析]当x≤0时，f(x)＝x2－2，令x2－2＝0，得x＝2(舍)或x＝－2，即在区间(－∞，0)上函数只有一个零点．当x>0时，f(x)＝2x－6＋lnx，令2x－6＋lnx＝0，得lnx＝6－2x.作出函数y＝lnx与y＝6－2x在区间(0，＋∞)上的图像，则两函数图像只有一个交点，即函数f(x)＝2x－6＋lnx(x>0)只有一个零点．综上可知，函数f(x)的零点的个数是2.第3讲　函数与方程、函数模型及其应用核心知识聚焦第3讲　函数与方程、函数模型及其应用体验高考体验高考　　返回目录4．[2013·湖南卷改编]函数f(x)＝lnx的图像与函数g(x)＝x2－4x＋4的图像的交点个数④为________．[答案]2⇒函数图像的交点关键词：图像交点如④、函数零点．主干知识主干知识核心知识聚焦第3讲　函数与方程、函数模型及其应用返回目录[解析]方法一：作出函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2－4x＋4的图像，如图所示．可知，其交点个数为2.方法二(数值法)：x124f(x)＝lnx0ln2(>0)ln4(<4)g(x)＝x2－4x＋4104可知它们有2个交点核心知识聚焦第3讲　函数与方程、函数模型及其应用体验高考体验高考　　返回目录5．[2013·重庆卷改编]某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)．将V表示成r的函数⑤V(r)＝________．⇒函数模型关键词：函数建模如⑤、二次函数模型、实际问题的最值．主干知识主干知识核心知识聚焦返回目录[答案]π5(300r－4r3)(0＜x＜53)[解析]因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh＝200πrh元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又据题意200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因为r＞0，由h＞0可得r＜53，所以函数V(r)的定义域为(0，53)．第3讲　函数与方程、函数模型及其应用核心知识聚焦返回目录————教师教师知识必备知识必备————　　概念方程f(x)＝0的实数根．方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点函数零点存在性定理f(x)的图像在区间[a，b]上连续不断，若f(a)f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内存在零点概念把实际问题表达的数量变化规律用函数关系刻画出来的方法叫作函数建模阅读审题分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题数学建模弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式解答模型利用数学方法得出函数模型的数学结果函数与方程及函数模型函数建模解题步骤解释模型将数学问题的结果转译成实际问题的结果第3讲　函数与方程、函数模型及其应用知识必备函数与方程及函数模型返回目录第3讲　函数与方程、函数模型及其应用►考点一函数的零点方程的解———1.方程的解；2.方程解的个数判断函数的零点——1.求函数的零点或零点个数；2.零点所在区间；3．与零点有关的参量问题题型：选择，填空分值：5分难度：较难热点：零点个数问题考点考向探究返回目录例1(1)已知函数fx＝3x＋x－9的零点为x0,则x0所在区间为()A.－32，－12B.－12，12C.12，32D.32，52(2)[2014·湖北卷]已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x,则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3}B．{－3，－1，1，3}C．{2－7，1，3}D．{－2－7，1，3}第3讲　函数与方程、函数模型及其应用考点考向探究返回目录第3讲　函数与方程、函数模型及其应用[解析](1)因为fx＝3x＋x－9，所以f32＝27＋32－9<6＋32－9<0，f52＝243＋52－9>15＋52－9>0.故选D.(2)设x<0，则－x>0，所以fx＝－f－x＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x.求函数gx＝fx－x＋3的零点等价于求方程fx＝－3＋x的解．当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；当x<0时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－7.故选D.[答案](1)D(2)D考点考向探究返回目录第3讲　函数与方程、函数模型及其应用[小结]判断函数零点的方法：(1)零点定理法，使用这个方法时要注意判断函数的单调性，在一个区间上单调的函数如果符合零点定理的条件，那么在这个区间上只有唯一的零点；(2)数形结合法，即把函数等价地转化为两个函数图像的交点，通过判断交点的个数得出函数零点的个数．考点考向探究　　返回目录变式题若x0是方程x＋lgx＝2的根，则x0属于区间()A．(0，1)B．(1，1.25)C．(1.25，1.75)D．(1.75，2)第3讲　函数与方程、函数模型及其应用[解析]构造函数f(x)＝lgx＋x－2，由f(1.75)＝f74＝－14＋lg74<0及f(2)＝lg2>0知，x0属于区间(1.75，2)．故选D.[答案]D考点考向探究返回目录►考点二与函数有关的自定义问题新定义——1.新定义下的运算；2.新定义下的性质问题题型：选择，填空分值：5分难度：较难热点：新定义下的性质与运算第3讲　函数与方程、函数模型及其应用考点考向探究返回目录例2[2014·山东卷]对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是()A．f(x)＝xB．f(x)＝x2C．f(x)＝tanxD．f(x)＝cos(x＋1)第3讲　函数与方程、函数模型及其应用[答案]D考点考向探究　返回目录[解析]因为f(x)＝f(2a－x)，所以函数f(x)的图像关于x＝a对称．A选项中，函数f(x)＝x没有对称性；B选项中，函数f(x)＝x2关于y轴对称，与a≠0矛盾；C选项中，函数f(x)＝tanx也没有对称性；D选项中，函数f(x)＝cos(x＋1)的图像是由函数g(x)＝cosx的图像向左平移一个单位后得到的，又函数g(x)＝cosx的图像关于x＝kπ(k∈Z)对称，所以函数f(x)＝cos(x＋1)的图像关于x＝kπ－1(k∈Z)对称．第3讲　函数与方程、函数模型及其应用考点考向探究　返回目录[小结]本题涉及一个函数等式f(x)＝f(2a－x)，此等式说明函数具有对称性，对称轴方程为x＝a，类似的形式还有f(a＋x)＝f(a－x)(关于x＝a对称)，f(a＋x)＝f(b－x)关于x＝a＋b2对称.第3讲　函数与方程、函数模型及其应用考点考向探究　返回目录变式题若函数f(x)满足：存在T∈R，T≠0，对定义域内的任意x，f(x＋T)＝f(x)＋f(T)恒成立，则称f(x)为T函数．现给出下列函数：①f(x)＝1x；②f(x)＝ex；③f(x)＝lnx；④f(x)＝sinx.其中为T函数的是________．(填序号)第3讲　函数与方程、函数模型及其应用[解析]对于①，f(x＋T)－f(x)＝1x＋T－1x＝－T（x＋T）x，要等于常数f(T)(T≠0)是不可能的，故①不是T函数．同理②③不是T函数．对于④，根据三角函数的周期性，当T＝2π时，f(x＋T)＝f(x)＋f(T)，故④是T函数．[答案]④考点考向探究　返回目录►考点三函数模型及其应用一次、二次函数模型———1.一次函数模型；2.二次函数模型其他函数模型———1.指数函数模型；2.对数函数模型；3.幂函数模型题型：选择，填空，解答分值：5分难度：中等热点：一次、二次函数模型第3讲　函数与方程、函数模型及其应用考点考向探究返回目录例3[2014·北京卷]加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，图31记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()图31A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟第3讲　函数与方程、函数模型及其应用考点考向探究　返回目录[解析]由题意得0.7＝9a＋3b＋c，0.8＝16a＋4b＋c，0.5＝25a＋5b＋c，解之得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2，∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2(t－3.75)2＋0.8125，即当t＝3.75时，p有最大值．第3讲　函数与方程、函数模型及其应用[答案]B[小结]二次函数模型是常见的数学模型，一般要先根据题意建立二次函数模型，确定函数中的各参量，再根据二次函数的性质解决实际中的最优化问题．考点考向探究　返回目录第3讲　函数与方程、函数模型及其应用变式题一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(x∈N*)件．当x≤20时，年销售总收入为(33x－x2)万元；当x＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元，则y(万元)与x(件)的函数关系式为____________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)[答案]y＝－x2＋32x－100，020，x∈N*16考点考向探究　返回目录第3讲　函数与方程、函数模型及其应用[解析]只要把成本减去即可，成本为(x＋100)万元，故得函数关系式为y＝－x2＋32x－100，020，x∈N*，当020时，y<140.故年产量为16件时，年利润最大．考点考向探究返回目录例1[配合例1使用]设定义域为R的函数f(x)＝|x－4|，x≥0，x2＋4x＋4，x＜0，若函数g(x)＝f2(x)－(2m＋1)·f(x)＋m2有7个零点，则实数m的值为()A．0B．6C．2或6D．2————教师备用例题教师备用例题————　　[答案]D[备选理由]例1是含参量的函数与方程的结合题；例2需建立不同的函数模型解决实际问题．第3讲　函数与方程、函数模型及其应用返回目录[解析]代入检验，当m＝0时，f(x)＝0或f(x)＝1，f(x)＝0有2个不同实根，f(x)＝1有4个不同实根，不符合题意；当m＝6时，f(x)＝4或f(x)＝9，f(x)＝4有3个不同实根，f(x)＝9有2个不同实根，不符合题意；当m＝2时，f(x)＝1或f(x)＝4，f(x)＝1有4个不同实根，f(x)＝4有3个不同实根，符合题意.第3讲　函数与方程、函数模型及其应用返回目录例2[配合例3使用]某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，且该厂职工工资固定支出为12500元．(1)把每件产品的成本费P(x)(元)表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费．(2)如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查，每件产品的销售价Q(x)与产品件数x有如下关系：Q(x)＝170－0.05x.试问生产多少件产品时，总利润最高？(总利润＝总销售额－总成本)第3讲　函数与方程、函数模型及其应用返回目录解：(1)P(x)＝12500x＋40＋0.05x，由基本不等式得P(x)≥212500×0.05＋40＝90，当且仅当12500x＝0.05x，即x＝500时，等号成立．故P(x)＝12500x＋40＋0.05x，成本的最小值为90元．(2)设总利润为y元，则y＝xQ(x)－xP(x)＝－0.1x2＋130x－12500＝－0.1(x－650)2＋29750，当x＝650时，ymax＝29750.故生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元．第3讲　函数与方程、函数模型及其应用第第44讲　不等式与线性规划讲　不等式与线性规划返回目录考点考向探究核心知识聚焦第4讲　不等式与线性规划体验高考体验高考返回目录核心知识聚焦1．[2014·四川卷改编]若a>b>0，c－d>0，又a>b>0，两式对应相乘得－ac>－bd>0，所以ac0）②的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a＝________．[答案]52[解析]由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两个根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2，所以(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝52(负值舍去)．⇒解不等式关键词：一元二次不等式如②、简单的分式不等式．主干知识主干知识核心知识聚焦第4讲　不等式与线性规划体验高考体验高考返回目录核心知识聚焦3．[2014·重庆卷改编]若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b③的最小值是________．[答案]7＋43[解析]由log4(3a＋4b)＝log2ab，得3a＋4b＝ab，则有4a＋3b＝1，所以a＋b＝(a＋b)4a＋3b＝7＋4ba＋3ab≥7＋24ba·3ab＝7＋43，当且仅当4ba＝3ab，即a＝4＋23，b＝23＋3时，等号成立，故a＋b的最小值是7＋43.⇒基本不等式关键词：一正、二定、三等号成立如③.主干知识主干知识核心知识聚焦第4讲　不等式与线性规划体验高考体验高考返回目录核心知识聚焦4．[2014·新课标全国卷Ⅱ改编]设x，y满足约束条件x＋y－1≥0，x－y－1≤0，x－3y＋3≥0，则z＝x＋2y④的最大值为________．[答案]7[解析]作出约束条件表示的可行域(略)，可知该可行域为一三角形区域，当目标函数线通过可行域的一个顶点(3，2)时，目标函数取得最大值，zmax＝3＋2×2＝7.⇒线性规划问题关键词：约束条件、可行域、目标函数、最优解.如④⑤.主干知识主干知识核心知识聚焦第4讲　不等式与线性规划体验高考体验高考　　返回目录5．[2014·浙江卷]若实数x，y满足x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1，则x＋y的取值范围⑤是__________．[答案][1，3]核心知识聚焦第4讲　不等式与线性规划返回目录[解析]实数x，y满足的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，图中A(1，0)，B(2，1)，C1，32.令z＝x＋y，则y＝－x＋z.当直线y＝－x＋z经过A点时，z取最小值1；经过B点时，z取最大值3.故x＋y的取值范围是[1，3]．核心知识聚焦第4讲　不等式与线性规划体验高考体验高考返回目录核心知识聚焦6．[2013·新课标全国卷Ⅱ改编]若存在正数x使2x（x－a）<1⑥成立，则a的取值范围是________．[答案](－1，＋∞)[解析]由题意存在正数x使得a>x－12x成立，即a>x－12xmin.由于y＝x－12x是(0，＋∞)上的增函数，故x－12x>0－120＝－1，所以a>－1.⇒含参不等式关键词：恒成立、能成立、范围问题如⑥.主干知识主干知识核心知识聚焦返回目录————教师教师知识必备知识必备————　　第4讲　不等式与线性规划(1)a＞b，b＞c⇒a＞c(2)a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc(3)a＞b⇒a＋c＞b＋c两个实数的顺序关系：a＞b⇔a－b＞0；a＝b⇔a－b＝0；a＜b⇔a－b＜0(4)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d(5)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd不等式的性质(6)a＞b＞0，n∈N*，n＞1⇒an＞bn；na＞nba＞b⇔1a＜1b的充要条件是ab＞0一元二次不等式解一元二次不等式实际上就是求出对应的一元二次方程的实数根(如果有实数根)，再结合对应的函数的图像确定其大于零或者小于零的区间，在含有参数的不等式中还要根据参数的不同取值确定方程根的大小以及函数图像的开口方向，从而确定不等式的解集知识必备不等式、线性规划返回目录第4讲　不等式与线性规划基本不等式ab≤a＋b2(a＞0，b＞0)a＋b≥2ab(a，b＞0)；ab≤a＋b22(a，b∈R)；2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22(a，b＞0)；a2＋b2≥2ab(a，b∈R)二元一次不等式(组)二元一次不等式Ax＋By＋C＞0的解集是平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域，二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的平面区域的公共部分约束条件对变量x，y的制约条件．如果是x，y的一次式，则称线性约束条件目标函数求解的最优问题的表达式．如果是x，y的一次式，则称线性目标函数可行解满足线性约束条件的解(x，y)叫作可行解简单的线性规划基本概念可行域所有可行解组成的集合叫作可行域————教师教师知识必备知识必备————　　返回目录第4讲　不等式与线性规划最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫作这个问题的最优解基本概念线性规划在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题第一步画出可行域第二步根据目标函数的几何意义确定最优解不含实际背景第三步求出目标函数的最值注意区域边界的虚实第一步设置两个变量，建立约束条件和目标函数简单的线性规划问题解法含实际背景第二步同不含实际背景的解法步骤注意实际问题对变量的限制————教师教师知识必备知识必备————　　返回目录考点考向探究►考点一不等关系与不等式的解法不等式的性质——1.不等关系；2.比较大小解不等式——1.一元二次不等式；2.其他不等式含参不等式——1.恒成立问题；2.能成立问题；3.求参数的取值范围题型：选择，填空分值：5分难度：中等热点：不等式的解法与含参不等式第4讲　不等式与线性规划返回目录例1(1)[2014·江西卷]函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域为()A．(0，1]B．[0，1]C．(－∞，0)∪(1，＋∞)D．(－∞，0]∪[1，＋∞)(2)已知二次函数fx＝2x2－a－2x－2a2－a，若对区间0，1内任意一个实数x，都有f(x)≤0成立，则实数a的取值范围为________．第4讲　不等式与线性规划考点考向探究返回目录第4讲　不等式与线性规划[解析](1)由x2－x>0，得x<0或x>1，所以函数f(x)＝ln(x2－x)的定义域是(－∞，0)∪(1，＋∞)．(2)当x∈0，1时，二次函数fx≤0恒成立，只需f0≤0，f1≤0，即－2a2－a≤0，2－（a－2）－2a2－a≤0，所以a≥0或a≤－12，a≥1或a≤－2，故a∈－∞，－2∪1，＋∞.[答案](1)C(2)(－∞，－2]∪[1，＋∞)考点考向探究返回目录第4讲　不等式与线性规划[小结]含参的不等式恒成立问题，通常的做法是将参量分离出来，转化为a≥f(x)或a≤f(x)的形式，再研究函数f(x)的值域(或最值)．而本题的第(2)小题中由于参量难分离出来，所以就直接结合二次函数的图像与性质求解．考点考向探究　　返回目录变式题(1)设a，b，c∈R，且a>b，则()A．ac>bcB.1a<1bC．a2>b2D．a3>b3(2)已知函数f(x)＝log2x－2log2(x＋c)，其中c>0.若对任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1，则c的取值范围是()A.0，14B.14，＋∞C.0，18D.18，＋∞第4讲　不等式与线性规划考点考向探究[答案](1)D(2)D　　返回目录第4讲　不等式与线性规划[解析](1)因为c的符号不确定，所以ac，bc的大小关系不确定，故选项A错．ab的符号不确定，若ab>0，则1a<1b；若ab<0，则1a>1b，故选项B错．因为a，b的符号不确定，所以a2与b2的大小关系不确定，故选项C错．故选D.考点考向探究　　返回目录第4讲　不等式与线性规划(2)对任意的x∈(0，＋∞)，都有log2x－2log2(x＋c)≤1，即不等式x（x＋c）2≤2对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，即2x2＋(4c－1)x＋2c2≥0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立．易知当－4c－14≤0，即c≥14时，恒成立；当－4c－14>0，即00，所以f(x)＝x＋px－1＝x－1＋px－1＋1≥2p＋1，当且仅当x＝p＋1时等号成立，故f(x)min＝2p＋1＝4，解得p＝94.(2)由3x＋y＝5xy，得3x＋y5xy＝35y＋15x＝1，∴4x＋3y＝(4x＋3y)35y＋15x＝45＋95＋12x5y＋3y5x≥135＋212x5y·3y5x＝135＋125＝255＝5，当且仅当12x5y＝3y5x，即x＝12，y＝1时取等号，故4x＋3y的最小值是5.第4讲　不等式与线性规划考点考向探究　返回目录[小结]利用基本不等式求最值时，一定要注意定值式，依据定值式进行变换，如题(2)中将3x＋y＝5xy转化为35y＋15x＝1，题(1)没有明确的定值式，但隐含(x－1)·1x－1＝1，这种隐性定值式在条件中是不会给出的，需要解题时自己确定。．第4讲　不等式与线性规划考点考向探究　返回目录变式题设函数f(x)＝lgx2－x，若f(a)＋f(b)＝0，则3a＋1b的最小值为________．第4讲　不等式与线性规划[解析]由x2－x>0，得x(x－2)<0，∴00，且不等式m2＋mn≤a(m2＋n2)恒成立，则实数a的最小值为()A.2＋12B.2－12C．1D.2＋1第4讲　不等式与线性规划考点考向探究[答案]A　返回目录第4讲　不等式与线性规划考点考向探究[解析]因为a≥m2＋mnm2＋n2对实数m，n，mn>0恒成立，所以a≥m2＋mnm2＋n2max，m2＋mnm2＋n2＝1＋nm1＋nm2，令t＝1＋nm，则m2＋mnm2＋n2＝tt2－2t＋2＝1t＋2t－2，当t＝2时，1t＋2t－2max＝2＋12，所以a≥2＋12.　返回目录第4讲　不等式与线性规划[小结]解决实际问题的最值，首先要建立一个函数模型，再用不等式的性质或基本不等式的性质来求最值，注意变量的取值范围对最值的影响．考点考向探究　返回目录第4讲　不等式与线性规划变式题(1)设集合A＝{x|－2≤x<4}，B＝{x|x2－ax－4≤0}，若B⊆A，则实数a的取值范围是()A．[－1，2]B．[－1，2)C．[0，3]D．[0，3)(2)已知正实数x，y满足lnx＋lny＝0，且k(x＋2y)≤x2＋4y2恒成立，则k的最大值是________．[答案](1)D(2)2考点考向探究　返回目录第4讲　不等式与线性规划[解析](1)因为Δ＝a2＋16>0，所以不等式x2－ax－4≤0的解集非空．若B⊆A，则方程x2－ax－4＝0的两根均在区间[－2，4)内，令f(x)＝x2－ax－4，则只要－2＜a2＜4，f（－2）＝2a≥0，f（4）＝12－4a＞0即可，解得0≤a<3，所以实数a的取值范围是[0，3)．(2)∵正实数x，y满足lnx＋lny＝0，∴ln(xy)＝0，即xy＝1，可得x＋2y≥22xy＝22.∵k(x＋2y)≤x2＋4y2恒成立，∴k≤x2＋4y2x＋2y＝（x＋2y）2－4x＋2y＝(x＋2y)－4x＋2y恒成立，即求(x＋2y)－4x＋2y的最小值．令t＝x＋2y，则t≥22，令f(t)＝t－4t(t≥22)，则f(t)在区间[22，＋∞)上单调递增，∴t＝22时，f(t)min＝f(22)＝22－422＝2，∴k≤2，故k的最大值为2.考点考向探究返回目录例1[配合例1、例2使用]若不等式x2＋2x＜ab＋16ba对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是()A．(－2，0)B．(－∞，2)∪(0，＋∞)C．(－4，2)D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)————教师备用例题教师备用例题————　　[答案]C[备选理由]例1是一个一元二次不等式与基本不等式结合的问题，综合考查不等式的求解、基本不等式求最值及不等式恒成立问题；例2考查约束条件表示的平面区域问题；例3考查可行域的应用；例4考查含参的线性规划问题．第4讲　不等式与线性规划返回目录[解析]因为a，b∈(0，＋∞)，所以ab＋16ba≥2ab·16ba＝8，当且仅当ab＝16ba，即a＝4b时等号成立，由此可得ab＋16bamin＝8.不等式x2＋2x＜ab＋16ba对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，只需x2＋2x＜8，即x2＋2x－8＜0，解得－4

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